z=1/2 处的广义修正 Bessel 函数 $K_{z,w}(x)$ 与 Humbert 函数

近来 Dixit、Kesarwani 与 Moll 引入了修正 Bessel 函数 $K_{z}(x)$ 的推广 $K_{z,w}(x)$，并证明其满足与 $K_{z}(x)$ 类似的优美理论。本文中，我们证明虽然 $K_{\frac{1}{2}}(x)$ 是初等函数，但 $K_{\frac{1}{2},w}(x)$ 可写为 Humbert 函数的无穷级数形式。作为该结果的应用，我们推广了 Dedekind eta 函数 $\eta(z)$ 对数的变换公式。