欧拉变换、zeta 函数与 Wallis 公式的推广

在本文中，我们将欧拉变换公式从交错级数推广到更一般的级数。然后，我们利用广义差分算子 Δc 给出了黎曼 zeta 函数 ζ(s) 的新表达式，这提供了 ζ(s) 的解析延拓以及计算 ζ(-m)（其中 m=0,1,2,...）特殊值的新方法。应用这些结果，我们进一步将 Huylebrouck 对著名的 Wallis π 公式的推广分别扩展到了半平面 Re(s)>0 和 Re(s)>-1 上。它们蕴含了几个有趣的特例，包括 $$\frac{2\pi}{3^{\frac{3}{2}}}=\frac{3^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}} \frac{2^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{1}{3}}\cdot4^{\frac{1}{3}}\cdot6^{\frac{2}{3}}\cdot6^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}\cdot4^{\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot4^{\frac{2}{3}}\cdot5^{\frac{2}{3}}}\cdots,$$ $$3^{\gamma-\frac{\log 3}{2}}=\frac{3^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{4}}} \frac{6^{\frac{1}{6}}\cdot6^{\frac{1}{6}}}{5^{\frac{1}{5}}\cdot7^{\frac{1}{7}}}\frac{9^{\frac{1}{9}}\cdot9^{\frac{1}{9}}}{8^{\frac{1}{8}}\cdot10^{\frac{1}{10}}}\cdots,$$ 以及 $$\left(3\left(\frac{2\pi e^{\gamma}}{A^{12}}\right)^{2}\right)^{\frac{\pi^2}{18}}=\frac{3^{\frac{1}{3^2}}\cdot3^{\frac{1}{3^2}}}{2^{\frac{1}{2^2}}\cdot4^{\frac{1}{4^2}}} \frac{6^{\frac{1}{6^2}}\cdot6^{\frac{1}{6^2}}}{5^{\frac{1}{5^2}}\cdot7^{\frac{1}{7^2}}}\frac{9^{\frac{1}{9^2}}\cdot9^{\frac{1}{9^2}}}{8^{\frac{1}{8^2}}\cdot10^{\frac{1}{10^2}}}\cdots,$$ 其中 γ 是 Euler-Mascheroni 常数，A 是 Glaisher-Kinkelin 常数。