黎曼 zeta 函数的傅里叶展开及其应用

我们利用希尔伯特空间理论研究了黎曼 zeta 函数 $\zeta(s)$ 在竖直线 $\Re s + i \mathbb{R}$ 上的取值分布。我们特别证明了 $\zeta(s)$ 在半平面 $\Re s \geq 1/2$ 上具有傅里叶展开，且其傅里叶系数涉及 Stieltjes 常数的二项式变换。作为一个应用，我们给出了与 $\zeta(s) - s/(s-1)$ 的对数相关联的泊松积分的显式计算。此外，我们结合黎曼假设与林德勒夫假设关于傅里叶系数增长的论述讨论了所得结果。