关于黎曼 zeta 函数的 Lindelöf 假设与 Piltz 除数问题

为了更好地理解黎曼 zeta 函数在临界带内的行为，我们证明了，除其他事项外，$\zeta^k(s)$ ($k \in \mathbb{N}$) 在半平面 $\Re s > 1/2$ 中的傅里叶展开，并推导出 Lindelöf 假设成立的一个充要条件。此外，如果 $\Delta_k$ 表示 Piltz 除数问题中的误差项，那么对于几乎所有 $x\geq 1$ 和任意给定的 $k \in \mathbb{N}$，我们有 $$\Delta_k(x) = \lim_{\rho \to 1^-}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\ell_{n,k}L_n\left(\log(x)\right)\rho^n$$ 其中 $(\ell_{n,k})_{n}$ 和 $L_n$ 分别表示 $\zeta^k(s)$ 的傅里叶系数和拉盖尔多项式。