研究 Lindelöf 假设的一种新方法

Lindelöf 假设是数学史上最重要的未解决问题之一，它指出对于大 $t$，Riemann zeta 函数 $\zeta(1/2+it)$ 的阶为 $O(t^{\varepsilon})$，对任意 $\varepsilon>0$ 成立。众所周知，对于大 $t$，Riemann zeta 函数的主项渐近行为可以用一个超越指数和表示。研究 Lindelöf 假设的通常方法涉及使用巧妙的技术来估计该和。然而，由于此类估计无法给出上述和的渐近公式，这一策略似乎无法导出 Lindelöf 假设的证明。本文引入了一种完全不同的方法。具体而言，针对 $|\zeta(\sigma+it)|^2, \ 0<\sigma<1$ 推导出了一个新颖的线性积分方程，其渐近分析为某一 Riemann zeta 型双重指数和给出了渐近结果。该和与描述 $|\zeta(\sigma+it)|^2$ 主项渐近行为的和具有相同的结构，即包含 $m_1^{-\sigma-it}m_2^{-\sigma-it}$，但其求和极限与对应于 $|\zeta(\sigma+it)|^2$ 的和不同。对上述积分方程的分析需要四个不同积分（记为 $I_1,I_2,\tilde{I}_3,\tilde{I}_4$）的渐近估计，以及推导某些双重指数和之间的精确关系。本文推导了后者关系，并给出了前两个积分 $I_1$ 和 $I_2$ 的严格分析。对于剩余的两个积分，仅推导了形式结果，为上述双重指数和以及与 $|\zeta(\sigma+it)|^2$ 相关的其他和的严格渐近结果的推导提供了可能的路线图。此外，还讨论了上述新方法所启示的其他进展。