关于包含小质因数的整数的广义除数函数奇偶性结果

设 $\nu_y(n)$ 表示 $n$ 中小于 $y$ 的不同质因数的个数。对于正整数 $k$，且 $k+2\leq y\leq x$，记 $S_{-k}(x,y)$ 为求和 \n\begin{eqnarray*} \nS_{-k}(x,y):=\sum_{n\leq x}(-k)^{\nu_y(n)}. \n\end{eqnarray*} \n在本文中，我们描述了关于 $S_{-k}(x,y)$ 当 $k+2\leq y\leq x$ 且 $x$ 足够大时渐近行为的最新结果。 $S_{-k}(x,y)$ 在 $k+1$ 为素数和 $k+1$ 为合数时，其渐近行为存在关键差异，这使得问题尤其有趣。结果通过结合Buchstab-de Bruijn 递归、Perron contour 积分方法以及某些差分-微分方程推导得出。我们在第一个作者关于对受限质因数的整数上求摩bius函数之和以及关于筛的乘性广义结果的背景下，对我们的结果进行了概述。