粗糙数分布的数值显式估计

对于 $x\ge y>1$ 及 $u:= \log x/\log y$，令 $\Phi(x,y)$ 表示不超过 $x$ 且不含小于等于 $y$ 的素因子的正整数个数。1950 年 de Bruijn [1] 研究了用量 $$\mu_y(u)e^{\gamma}x\log y\prod_{p\leq y}\left(1-\frac{1}{p}\right)$$ 对 $\Phi(x,y)$ 的逼近，其中 $\gamma=0.5772156...$ 为欧拉常数，且 $$\mu_y(u):=\int_{1}^{u}y^{t-u}\omega(t)\,dt.$$ 他证明了渐近公式 $$\Phi(x,y)=\mu_y(u)e^{\gamma}x\log y\prod_{p\leq y}\left(1-\frac{1}{p}\right)+O\left(\frac{xR(y)}{\log y}\right)$$ 对所有 $x\ge y\ge2$ 一致成立，其中 $R(y)$ 是与素数定理中误差估计相关的正递减函数。本文给出了 de Bruijn 结果的数值显式版本。