关于随机图群体数量的研究

1980 年，Ajtai、Komlos 和 Szemer{\'e}di 定义了“群体”：设 $G=(V,E)$ 为简单图，$|V|=n$，$|E|=e$。对于顶点 $v\in V$，设 $r(v)$ 表示与 $v$ 相邻顶点的度数之和。如果 $\frac{r(v)}{\deg(v)}\geq\frac{e}{n}$，我们称 $v\in V$ 为一个 {\it 群体}。在本文中，我们证明了在随机图 $B(n,p)$ ($0<p<1$) 中，当 $n$ 趋于无穷大时，群体的比例依概率收敛于 $\Phi(1)\approx0.8413$，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布 N(0,1) 的分布函数。我们还讨论了完全二部图 $B(n_1,n_2,p)$ 中群体比例的渐近行为。