非对称图的无穷族

若图 $G$ 的顶点自同构群是平凡的，则称 $G$ 为\textit{非对称图}。非对称图由 Erd\H{o}s 和 R\'{e}nyi 于 1963 年引入。他们证明了当 $n$ 趋于无穷时，$n$ 个顶点的图是非对称的概率趋于 $1$。在本文中，我们首先考虑非对称树的数目，这是 Erd\H{o}s 和 R\'{e}nyi 提出的一个问题。我们给出一个部分结果，表明非对称细分星图的数目约为 $q(n-1) - \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$，其中 $q(n)$ 是用不同正整数求和得到 $n$ 的方式数，由 Hardy 和 Ramanujan 于 1918 年给出。我们还研究了三次哈密顿图，其中非对称性至少在 $n$ 较小时似乎很罕见。已知在 $4\leq n\leq 10$ 个顶点上不存在非对称的三次哈密顿图，而在 $12$ 个顶点的 $80$ 个三次哈密顿图中只有 $5$ 个是非对称的。我们给出了一个非对称的三次哈密顿图的无穷族构造。随后我们给出一个非对称的四次哈密顿图的无穷族。我们利用上述三次和四次非对称哈密顿图的结果，确立了对于所有 $k\geq 3$ 均存在 $k$-正则非对称哈密顿图。