若干联图的双顶点图与完全双顶点图的哈密顿性

设 $G$ 为阶为 $n$ 的简单图。$G$ 的双顶点图 $F_2(G)$ 是以 $V(G)$ 的 $2$-子集为顶点构成的图，其中两个顶点在 $F_2(G)$ 中相邻当且仅当它们的对称差是 $G$ 中一对相邻顶点。该图的一个推广是 $G$ 的完全双顶点图 $M_2(G)$，定义为以 $V(G)$ 的 $2$-多重子集为顶点构成的图，且这样的两个顶点在 $M_2(G)$ 中相邻当且仅当它们的对称差（作为多重集）是 $G$ 中一对相邻顶点。本文给出了一类无限图族（包含哈密顿图和非哈密顿图），使得其 $F_2(G)$ 和 $M_2(G)$ 均为哈密顿图。该类图族为联图 $G=G_1 + G_2$，其中 $G_1$ 和 $G_2$ 的阶分别为 $m\geq 1$ 和 $n\geq 2$，且 $G_2$ 具有哈密顿路径。对于该类图，我们证明：若 $m\leq 2n$，则 $F_2(G)$ 是哈密顿图；若 $m\leq 2(n-1)$，则 $M_2(G)$ 是哈密顿图。