关于具有有界第二邻域的正则图的哈密顿性

令 $\mathcal{G}(k)$ 表示连通的 $k$-正则图 $G$（$k\geq2$）的集合，其中 $G$ 中距任意顶点距离为 2 的顶点数不超过 $k$。Asratian (2006) 表明（使用其他术语）若 $G\in\mathcal{G}(k)$ 且对 $G$ 的每个顶点 $u$，由距 $u$ 至多 2 的顶点所诱导的子图是 2-连通的，则 $G$ 是哈密顿图。我们在此证明，事实上 $\mathcal{G}(3)$、$\mathcal{G}(4)$ 和 $\mathcal{G}(5)$ 中的所有图都是哈密顿图。我们还证明，判定 $\mathcal{G}(6)$ 中某图是否存在哈密顿圈的问题是 NP-完全的。尽管如此，我们证明每个局部连通图 $G\in\mathcal{G}(k)$（$k\geq6$）是哈密顿图，且对 $G$ 中每个非哈密顿圈 $C$，存在 $G$ 中长度为 $|V(C)|+\ell$ 的圈 $C'$（$\ell\in\{1,2\}$），使得 $V(C)\subset V(C')$。最后，我们注意到我们所有的哈密顿性条件都适用于具有大直径的无穷多个图。