图平衡割性质的拟随机性

拟随机图可以非正式地描述为边分布与具有相同边密度的真正随机图非常相似的图。最近，Shapira和Yuster证明了以下关于图拟随机性的结果。设$k \ge 2$为固定整数，$\alpha_1,...,\alpha_k$为正实数，满足$\sum_{i} \alpha_i = 1$且$(\alpha_1,..., \alpha_k) \neq (1/k,...,1/k)$，$G$为$n$个顶点上的图。如果对于将$G$的顶点划分为大小分别为$\alpha_1 n,..., \alpha_k n$的集合$V_1,..., V_k$的每个划分，恰好每个集合中有一个顶点的$k$顶点完全图的数量与我们在随机图中所期望的相似，则该图是拟随机的。然而，他们使用的拟随机超图方法未能提供足够的信息来解决图的$(1/k,..., 1/k)$情况。在他们的工作中，Shapira和Yuster询问这种情况是否也迫使图是拟随机的。Janson在他关于图极限框架下拟随机性的研究中也提出了同样的问题。在本文中，我们肯定地回答了他们的提问。