素数特征下行列式理想的符号幂

我们研究素数特征下通用矩阵、通用对称矩阵和变量 Hankel 矩阵的行列式理想，以及通用斜对称矩阵的 Pfaffian 的符号幂。具体而言，我们证明了极限 $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\textrm{reg}(I^{(n)})}{n}$ 存在，且 $\textrm{depth}(R/I^{(n)})$ 在 $n\gg 0$ 时稳定。此外，我们给出了通用和斜对称情形下 $\textrm{depth}(R/I^{(n)})$ 稳定值的显式公式。为了证明这些结果，我们引入了理想符号 $F$-纯性的概念，上述几类理想均满足该性质。而且，我们发现了符号 $F$-纯理想所满足的若干性质。例如，我们证明了它们的符号 Rees 代数和符号相伴分次代数是 $F$-纯的。作为推论，它们的 $a$-不变量和深度呈现出良好行为。此外，我们给出了一个类似于 Fedder 判据的符号 $F$-纯性判据。