Hadamard 矩阵的特征谱

Butson Hadamard 矩阵 $H$ 的元取自 k 次单位根，并满足矩阵方程 $HH^{\ast} = nI_{n}$。我们将此类矩阵的集记作 $\mathrm{BH}(n, k)$。Butson 矩阵的完全态射是一个映射 $\mathrm{BH}(n, k) \rightarrow \mathrm{BH}(m, \ell)$。在本文中，我们发展了一种控制某些 Hadamard 矩阵特征谱的技术。对每个整数 $t$，我们构造一个阶为 $n_{t} = 2^{2^{t-1}-1}$ 的实 Hadamard 矩阵 $H_{t}$，使得 $\frac{1}{\sqrt{n_{t}}}H_{t}$ 的极小多项式为分圆多项式 $\Phi_{2^{t+1}}(x)$。此类矩阵对每个 $t \geq 2$ 给出完全态射的新例子 $$\mathrm{BH}(n, 2^{t}) \rightarrow \mathrm{BH}(2^{2^{t-1}-1}n, 2)\,,$$ 推广了 Turyn 的著名结果。