稳健 Hadamard 矩阵、Birkhoff 多面体中的单随机射线与复合空间中的等纠缠基

我们研究一类特殊的（实或复）稳健 Hadamard 矩阵，其显著特征是它们在 $2$ 维子空间上的投影构成一个 Hadamard 矩阵。我们证明，如果存在该阶数的斜 Hadamard 矩阵，则存在该阶数 $n$ 的此类矩阵。对于任何偶数维 $n\le 20$ 均属此情形，并且对于这些维数，我们证明位于 Birkhoff 多面体任意射线（连接该多面体的中心与任意置换矩阵）上的双随机矩阵 $B$ 是单随机的。相应的酉矩阵 $U$ 的显式形式由稳健 Hadamard 矩阵确定，使得 $B_{ij}=|U_{ij}|^2$。这些酉矩阵使我们能够在 $n \times n$ 阶复合 Hilbert 空间中构造一族正交基。每个基由具有相同纠缠度的向量组成，并且所构造的基族在乘积基和最大纠缠基之间进行插值。