关联 $\mathbb{C}^{d}\bigotimes\mathbb{C}^{d}$ 中的UMEB与部分Hadamard矩阵

我们研究了 $\mathbb{C}^{d}\bigotimes\mathbb{C}^{d}$ 中的不可扩展极大纠缠基(UMEB)，并将其与部分Hadamard矩阵相联系。首先，我们证明对于给定的 $\mathbb{C}^{d}\bigotimes\mathbb{C}^{d}$ 中一个特殊UMEB，存在一个部分Hadamard矩阵不能扩展为 $\mathbb{C}^{d}$ 中的完全Hadamard矩阵。作为推论，任意 $(d-1)\times d$ 部分Hadamard矩阵可扩展为完全Hadamard矩阵。然后我们得到对于任意 $d$，除 $d=p\ \text{或}\ 2p$ 外均存在UMEB，其中 $p\equiv 3\mod 4$ 且 $p$ 为素数。最后，我们论证对于任意 $n\in \mathbb{N}$ 和 $d=3\times5 \times7$，在 $\mathbb{C}^{nd}\bigotimes\mathbb{C}^{nd}$ 中存在不同类型的UMEB构造。