Bent 向量的一般化用于 Butson Hadamard 矩阵

一个 $n\times n$ 的复矩阵 $M$ 的条目位于第 $k^{\textrm{th}}$ 个根单位复数上，且满足 $MM^{\ast} = nI_{n}$，称为 Butson Hadamard 矩阵。虽然一个条目位于第 $k^{\textrm{th}}$ 个根单位复数上的矩阵通常不具有条目在同一集合中的特征向量，但此类向量及其一般化在多个应用中具有重要作用。对于 $M$，一个 bent 向量满足 $M{\bf x} = \lambda {\bf y}$，其中 ${\bf x}$ 的条目位于第 $k^{\textrm{th}}$ 个根单位复数上，而 ${\bf y}$ 的所有条目都是范数为 1 的复数。这样的 bent 向量 ${\bf x}$ 若满足 ${\bf y} = \mu{\bf x}$，则称为自对称的；若满足 ${\bf y} = \mu\overline{\bf x}$，则称为共轭自对称的。我们运用代数数论中的技术，证明了自对称和共轭自对称 bent 向量的一些阶条件和不存在性结果；使用张量构造和 Bush 类型矩阵给出具体实例。我们以 Reed Muller 码的覆盖半径的应用为结论。