矩阵与算子 Young 不等式的反向形式

我们提出了针对 Hilbert-Schmidt 范数以及任意酉不变范数的一些反向 Young 型不等式。此外，我们给出了一些涉及算子均值的不等式。更确切地说，我们证明了如果 $A, B\in {\mathfrak B}(\mathcal{H})$ 是正算子且 $r\geq 0$，则 $A\nabla_{-r}B+2r(A\nabla B-A\sharp B)\leq A\sharp_{-r}B$，并证明等号成立当且仅当 $A=B$。我们还建立了若干涉及迹、行列式和奇异值的反向 Young 型不等式。特别地，我们证明了如果 $A, B$ 是正定矩阵且 $r\geq 0$，则 $\label{reverse_trace} \mathrm{tr}((1+r)A-rB)\leq \mathrm{tr}|A^{1+r}B^{-r} |-r(\sqrt{\mathrm{tr} A} - \sqrt{\mathrm{tr} B})^{2}$。