矩阵与算子中赫尔德不等式取等号的情形

设 $p>1$ 且 $1/p+1/q=1$。考虑赫尔德不等式 $$\|ab^*\|_1\le \|a\|_p\|b\|_q$$ 对于某个迹的 $p$-范数（$a,b$ 为矩阵、紧算子、有限 $C^*$-代数或半有限冯·诺依曼代数中的元素）。本注记包含了一个简单证明（基于 $p=2$ 的情形），证明了等号成立当且仅当对于某个 $\lambda\ge 0$ 有 $|a|^p=\lambda |b|^q$。