关于 $0<p<2$ 时非交换 Khintchine 不等式的注记

我们证明，对于某个满足 $1<q<2$ 的 $q$，非交换 Khintchine 不等式的有效性蕴含了它对所有 $1\le p<q$ 的有效性（使用另一个常数）。我们针对涉及 Rademacher 函数的不等式证明了这一点，但也适用于更一般的“缺项”序列，甚至 Rademacher 函数的非交换类似物。例如，我们可以将其应用于 Harcharras 先前考虑过的“Z(2)-序列”。该结果在这种情况下似乎是新的。它蕴含了空间 $\ell^n_1$（作为算子空间）包含一个大的子空间，该子空间（作为算子空间）与 $R_k+C_k$ 一致同构，其中 $k\sim n^{\frac12}$。这自然引出了几个关于最佳可能 $k$ 的有趣问题。不幸的是，我们无法解决 $0<p<1$ 时非交换 Khintchine 不等式的有效性，但我们可以证明几个可能的推论。例如，给定一个无穷标量矩阵 $[x_{ij}]$，我们给出了 $[\pm x_{ij}]$ 对于几乎所有（独立）的 $\pm 1$ 符号选择属于 Schatten 类 $S_p$ 的充要条件。我们还刻画了从 $S_2$ 到 $S_p$ 的有界 Schur 乘子。后两个刻画将 $1\le p\le2$ 时已知的结果推广到了 $0<p<1$。此外，我们观察到，Carlen 和 Lieb 为费米子情况证明的超收缩不等式，对于算子空间值函数仍然成立，因此 Kahane 不等式在此背景下也成立。