关于鞅的Khintchine型不等式最佳常数的研究

对于离散鞅差序列 $d=\{d_1,\ldots,d_n\}$，我们考虑涉及由 Chang-Wilson-Wolff 于 1982 年考虑的某些平方函数 $\mathfrak S (d)$ 的 Khintchine 型不等式。具体而言，我们证明了 \n\begin{equation} \left\|\sum_{k=1}^nd_k\right\|_p\le 2^{1/2}\big(\Gamma((p+1)/2))/\sqrt{\pi}\big)^{1/p}\|\mathfrak S(d)\|,\quad p\ge 3, \end{equation} 其中右侧常数为最佳可能值，且与已知的 Rademacher 和 $\sum_{k=1}^na_kr_k$ 相同的常数。此外，对于固定的 $n$，不等式中的常数可被替换为 $\sum_{k=1}^nr_k/\sqrt{n}$。我们应用一种将一般情况归约到 Haar 和 Rademacher 和的技术，这也允许我们建立次高斯估计 \n\begin{equation} {\bf E}\left[\exp\left(\lambda\cdot \left(\frac{\sum_{k=1}^nd_k}{\|\mathfrak S(d)\|_\infty}\right)^2\right)\right]\le \frac{1}{\sqrt{1-2\lambda}},\quad 0<\lambda<1/2, \end{equation} 其中右侧常数为最佳可能值。