大于恒等算子微扰的交换子

设 $a$ 与 $b$ 为有单位元 $e$ 的有序赋范代数 $\mathcal A$ 中的元素。假设元素 $a$ 为正，且对某个 $\varepsilon>0$ 存在元素 $x\in \mathcal A$ 满足 $\|x\|\leq \varepsilon$ 使得 $$ab-ba \geq e+x .$$ 若 $\mathcal A$ 上的范数是单调的，则我们证明 $$\|a\|\cdot \|b\|\geq \tfrac{1}{2} \ln \tfrac{1}{\varepsilon} ,$$ 这可视为 Popa 关于 Hilbert 空间上算子交换子定量结果的序类比。我们还给出 Hilbert 格 $\ell^2$ 上正算子 $A$ 与 $B$ 的相关例子，使得其交换子 $A B - B A$ 大于恒等算子的任意小扰动。