q变形交换子的Frobenius范数上界

对于两个$n \times n$复矩阵$A$和$B$,我们定义$q$变形交换子为$[ A, B ]_q := A B - q BA$,其中$q$为实参数。在本文中,我们研究B"{o}ttcher-Wenzel不等式的推广,该不等式给出了交换子(Frobenius)范数的锐上界。在我们的推广中,我们研究$q$变形交换子的锐上界。此推广可在两种不同情形下研究:第一种为一般矩阵的情形,第二种为无迹矩阵的情形。对于两种情形,我们给出了针对正$q$和负$q$的部分答案与猜想。特别地,以$||.||_F$表示Frobenius范数,当$A$或$B$之一为正规矩阵时,我们证明以下不等式成立且为锐界:对正$q$有$|| [ A , B ]_q||_F^2 \le \left(1+q^2 \right) ||A||_F^2 ||B||_F^2$。此外,我们猜想当$A$或$B$之一为无迹矩阵时,对同一正$q$该界也成立。对于负$q$,我们猜想对其他一般情形以及$A$或$B$之一为无迹矩阵的情形,其他锐上界成立。所有猜想均有数值支持,并对$n=2$情形给出证明。