量子动力学半群生成元谱的约束条件

受完全正保迹半群生成元的谱分析启发，我们分析了一个实泛函 $$A,B \in M_n(\mathbb{C}) \to r(A,B) = \frac{1}{2}\Bigl(\langle [B,A],BA\rangle + \langle [B,A^\ast],BA^\ast \rangle \Bigr) \in \mathbb{R}$$ 其中 $\langle A,B\rangle := {\rm tr} (A^\ast B)$ 为 Hilbert-Schmidt 内积，$[A,B]:= AB - BA$ 为交换子。特别地，我们讨论了形如 $c_- \|A\|^2 \|B\|^2 \le r(A,B) \le c_+ \|A\|^2 \|B\|^2$ 的上下界，其中 $\|A\|$ 为 Frobenius 范数。我们证明最优上下界由 $c_\pm = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ 给出。若限制 $A$ 为无迹的，则界进一步改进为 $c_\pm = \frac{1 \pm \sqrt{2(1-\frac{1}{n})}}{2}$。有趣的是，这些上界（尤其是后者）为量子动力学半群的弛豫速率提供了比文献中已知约束更紧的新约束。我们还讨论了与 B\"{o}ttcher-Wenzel 不等式的关系。