区间上一维分数阶薛定谔算子的谱间隙下界

我们证明了分数阶薛定谔算子前两个特征值之差 λ₂ - λ₁ 的一致下界，该算子与在开区间 (a,b) ∈ ℝ 内具有对称可微单阱势 V 的对称 α-稳定过程被杀死相关的 Feynman-Kac 半群有关，其中 α ∈ (1,2)。 “一致”意味着我们估计 λ₂ - λ₁ ≥ C_α (b-a)^{-α} 中出现的正常数 C_α 与势 V 无关。在 α ∈ (0,2) 的一般情况下，我们也找到了差值 λ_* - λ₁ 的一致下界，其中 λ_* 表示与反对称本征函数 φ_* 相关的最小本征值。我们讨论了相应基态本征函数 φ₁ 的一些性质。特别地，我们证明了它在区间 (a,b) 内是对称且单峰的。我们用于证明谱间隙下界的一个关键论据是某个积分不等式，该不等式已知是 Garsia-Rodemich-Rumsey 引理的一个推论。