实直线上具有周期矩阵势的 Schrödinger 算子的谱估计

我们考虑实直线上具有 $N\ts N$ 矩阵值周期势的 Schrödinger 算子，N>1。该算子的谱是绝对连续的，并由间隙分隔成的区间组成。我们定义 Lyapunov 函数，它在关联的 N-叶 Riemann 面上解析。在每一叶上，Lyapunov 函数具有标量情形 Lyapunov 函数的标准性质。Lyapunov 函数具有（实或复）分支点，我们称之为共振点。我们确定了周期谱、反周期谱以及高能处共振点的渐近行为（用势的 Fourier 系数表示）。我们表明存在两类间隙：i）稳定间隙，即端点是周期与反周期特征值；ii）不稳定（共振）间隙，即端点是共振点（实分支点）。此外，得到以下结果：1）我们将准动量定义为 Lyapunov 函数 Riemann 面上的解析函数；得到了准动量的各种性质与估计；2）我们构造了实部由态的积分密度给出、虚部由 Lyapunov 指数给出的共形映射。我们得到该共形映射的各种性质，类似于 N=1 的情形；3）我们确定了势、态的积分密度与 Lyapunov 指数的各种新迹公式；4）得到了用势表示的间隙长度的先验估计。