Gibbs 半群的扰动与非自伴谐振子

设 $T$ 为一个 $C_0$-半群 $e^{-Tt}$ 的生成元,该半群对所有 $t>0$ 均为有限迹(即 Gibbs 半群)。设 $A$ 为另一个闭算子,$T$-有界且 $T$-界为零。一般而言,$T+A$ 未必是 Gibbs 半群的生成元。本文前半部分给出 $A$ 上使得 $T+A$ 成为 Gibbs 半群生成元的充分条件。我们在适当的 Schatten-von Neumann 范数下,通过对应扰动半群的 Dyson-Phillips 展开的收敛性来确定这些条件。本文后半部分考虑 $L^2(\mathbb{R})$ 上的 $T=H_\vartheta=-e^{-i\vartheta}\partial_x^2+e^{i\vartheta}x^2$(非自伴谐振子)以及 $A=V$(一个在无穷远处按 $|x|^{\alpha}$($0\leq \alpha<2$)增长的局部可积势)。我们证明在此情形下 Dyson-Phillips 展开在 $r$ Schatten-von Neumann 范数下对 $r>\frac{4}{2-\alpha}$ 收敛,并证明 $H_\vartheta+V$ 是 Gibbs 半群 $\mathrm{e}^{-(H_\vartheta+V)\tau}$ 的生成元,其中 $|\arg{\tau}|\leq \frac{\pi}{2}-|\vartheta|$。由此我们确定了 $H_\vartheta+V$ 的特征值及预解式范数的渐近性态。