径向非简谐振子：微扰理论、新半经典展开、本征函数逼近 I. 一般论述与三次非简谐性情形

对于势为 $V(r)= \frac{1}{g^2}\,\hat{V}(gr)$ 的一般 $D$ 维径向非简谐振子，我们在 $r$ 空间和 $(gr)$ 空间中分别构造性地发展了耦合常数 $g$ 的幂次微扰理论 (PT)（弱耦合机制）以及 $g$ 的逆分数次幂微扰理论（强耦合机制）。引入 Riccati-Bloch (RB) 方程和广义 Bloch (GB) 方程分别作为控制坐标 $r$ 空间和 $(gr)$ 空间中动力学的方程，并利用波函数 $y$ 的对数导数进行探讨。结果表明，在 RB 方程中发展的 $g$ 的幂次 PT 导致 $y$ 在小 $r$ 处的 Taylor 展开，而在 GB 方程中发展时则导致在大的 $(g r)$ 处的一种新形式的半经典展开：它与路径积分形式中的圈展开一致。作为补充，在 RB 方程中发展的大 $g$ 的 PT 导致 $y$ 在大 $r$ 处的展开，而在 GB 方程中发展时则导致在小 $(g r)$ 处的展开。对 $y$ 的所有四种展开进行插值，得到一个紧致函数（称为 {\it Approximant}），该函数应在 $r \in [0, \infty)$ 上对任意耦合常数 $g \geq 0$ 和维数 $D > 0$ 均匀逼近精确本征函数。Approximant 的自由参数通过在变分计算中将其作为试探函数来确定。作为具体应用，考虑了三次非简谐振子 $V=r^2+gr^3$ 的低能态。结果表明，对于 $r \in [0, \infty)$、耦合常数 $g \geq 0$ 和维数 $D=1,2,\ldots$，Approximant 与精确基态本征函数的相对偏差为 $\lesssim 10^{-4}$。进而，对于 $g \geq 0$ 和 $D=1,2,\ldots$，低能态的变分能量获得了前所未有的 7-8 位有效数字精度。