论量子力学中微扰论与半经典展开的联系

我们证明，对于势 $V(x)= a x^2 + b g x^3 +\ldots=\frac{1}{g^2}\,\hat{V}(gx)$ 的一维非谐振子，以及径向振子 $V(r)=\frac{1}{g^2}\,\hat{V}(gr)$ 和微扰库仑问题 $V(r)=\frac{\alpha}{r}+ \beta g r + \ldots = g\,\tilde{V}(gr)$，耦合常数 $g$ 幂次的微扰论（弱耦合区）与能量关于 $\hbar^{1/2}$ 幂次的半经典展开相一致。这与如下事实相关：在 $x\ (r)$ 空间和 $gx\ (gr)$ 空间中发展的动力学导致相同的能谱。给出了分别支配这两空间动力学的方程，即 Riccati-Bloch 方程与广义 Bloch 方程。我们证明，在 $gx\ (gr)$ 空间中对波函数对数导数的微扰论导出关于 $\hbar^{1/2}$ 的（真）半经典展开；对一维情形，这对应于其中一位作者 Shuryak(1988) 提出的欧氏（虚）时间路径积分形式中密度矩阵的 flucton 演算。将 $g$ 幂次微扰论与 $\hbar^{1/2}$ 幂次半经典展开在波函数上匹配，得到整个坐标空间高度精确的局域近似，其对哈密顿量的期望值给出了微扰（跨）级数求和的方案。