关于Batty半群渐近稳定性定理的推广

著名的Batty定理指出，若$C_0$-半群$T(t)$有界且生成元$A$的谱包含于$\mathbb{C}$的开左半平面中，则$\|T(t)A^{-1}\|$趋于$0$。这可被视为一个更一般性质的特例：对于$\omega_0>-\infty$且$(\omega_0+i\mathbb{R})\cap \sigma(A)=\emptyset$，有$\|T(t)(A-\omega_0 I)^{-1}\|/\|T(t)\|$趋于0。我们证明该性质在$\|T(t)\|$足够正则时成立，然而我们给出了无界半群的例子，其生成元谱不包含于$\mathbb{C}$的开左半平面中，却具有上述性质。此外，我们给出了该性质成立的一个更一般的充分条件，从而推广了Batty定理。