通过 $\mathcal{B}$-演算推导半群生成元的 Cayley 变换及其逆的衰减估计

设 $-A$ 为 Hilbert 空间上有界 $C_0$-半群 $(e^{-tA})_{t \geq 0}$ 的生成元。我们首先研究当 $\omega >0$ 时 Cayley 变换 $V_{\omega}(A) := (A-\omega I) (A+\omega I)^{-1}$ 的长时间渐近行为。我们给出了当 $(e^{-tA})_{t \geq 0}$ 多项式稳定时 $\|V_{\omega}(A)^nA^{-1}\|$ 的衰减估计。考虑参数 $\omega$ 变化的情形，我们估计了指数稳定 $C_0$-半群 $(e^{-tA})_{t \geq 0}$ 的 $\|(\prod_{k=1}^n V_{\omega_k}(A))A^{-1}\|$。接下来我们证明，如果有界 $C_0$-半群的生成元 $-A$ 具有有界逆，则对所有 $\alpha >0$，有 $\sup_{t \geq 0} \|e^{-tA^{-1}} A^{-\alpha} \| < \infty$。我们还在假设 $(e^{-tA})_{t \geq 0}$ 多项式稳定的条件下，给出了 $\|e^{-tA^{-1}} A^{-1} \|$ 衰减率的估计。为了获得这些结果，我们使用了称为 $\mathcal{B}$-演算的泛函演算所提供的算子范数估计。