一类阻尼波动方程解的多项式镇定

我们考虑一类形如 $\partial_{tt} u + Lu + B\partial_{t} u = 0$ 的波动方程，其中 $L$ 为自伴算子，$B$ 代表各种类型的局部阻尼。通过建立关联算子 $A$ 在 ${{\Bbb C}}$ 虚轴上预解式的适当且相当精确的估计，我们证明了该算子生成的半群 $\exp(-tA)$ 的多项式衰减。我们指出，衰减速率强烈依赖于算子 $L$ 的特征值集中程度及其特征函数的集中程度。我们给出了若干应用我们抽象结果的例子，特别表明对于矩形 $\Omega := (0,L_{1})\times (0,L_{2})$，能量的衰减速率取决于比值 $L_{1}^2/L_{2}^2$ 是有理数，还是无理但为代数数。