环面上阻尼波动方程的衰减率

我们探讨了当阻尼系数 $b$ 不满足几何控制条件 (GCC) 时，阻尼波动方程能量的衰减率。首先，我们建立了其与相关 Schr\"odinger 方程可控性的联系。我们在抽象设定下证明，Schr\"odinger 群的可观测性意味着与阻尼波动方程相关的半群以 $1/\sqrt{t}$ 的速率衰减（这比 Lebeau 定理预测的一般对数速率更强）。其次，我们聚焦于二维环面。我们证明，只要阻尼区域不满足 GCC，所能期望的最佳衰减率为 $1/t$。相反，对于光滑阻尼系数 $b$，我们证明半群以 $1/t^{1-\eps}$ 的速率衰减，其中 $\eps >0$ 为任意值。证明依赖于围绕俘获方向的第二次微局部化和预解式估计。在阻尼系数为带状区域的特征函数（因此不连续）的情况下，St\'{e}phane Nonnenmacher 在附录中计算了相关阻尼波动算符的部分谱，证明半群的衰减速度不能快于 $1/t^{2/3}$。特别是，我们的研究表明衰减率高度依赖于 $b$ 消失的方式。