Baouendi-Grushin 算子的尖锐预解估计及其应用

本文中我们研究二维环面 $\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2/(2\pi\mathbb{Z})^2$ 上带 Hölder 阻尼的非自伴 Baouendi-Grushin 算子的半经典预解估计。该算子在 $x=0$ 处沿竖直方向退化且为次椭圆型。我们展示了三种不同情形：（i）阻尼区域相对于非退化哈密顿流与竖直次椭圆流均满足几何控制条件；（ii）无阻尼区域包含一条水平条带；（iii）无阻尼部分是一条直线。在所有这些情形下，我们都获得了尖锐预解估计。作为推论，我们证明了相应阻尼波方程的最优能量衰减率。对于（i）和（iii），我们的结果与 Laplace 预解形成鲜明对比，因为最优界由次椭圆区域中的拟模态主导。而对于（ii），最优性由椭圆区域中的拟模态主导，其最优能量衰减率与 $\mathbb{T}^2$ 上经典阻尼波方程相同。我们的分析包含对适配的两微局部半经典测度的研究、拟模态的构造，以及相空间不同区域上的精细 Birkhoff 正规形化简。作为独立兴趣点，我们还获得了微局部化于次椭圆区域中拟模态的半经典测度传播定理。