正半轴上无限维 Friedrichs 模型在 Hilbert-Schmidt 扰动下共振的特征值问题

构造了带 Hilbert-Schmidt 扰动的正半轴上无限维 Friedrichs 模型之 Hamilton 量 H 的 Gelfand 三元组，使得恰好共振（Livsic 矩阵逆的极点）是 H 的扩张 H^{\times} 的特征值。对应特征反线性形式被显式算出。利用 Abel 波（Möller）算子的波矩阵，未扰动 Hamilton 量 $H_{0}$ 的对应特征反线性形式表现为纯 Dirac 型，并可由其对应的 Gamov 向量刻画，该向量由到 $H_{0}$ 的 Gelfand 空间与 $P_{+}H^{2}_{+}$ 之交的限制唯一确定，其中 $H^{2}_{+}$ 是上半平面的 Hardy 空间。同时，此限制给出酉演化 $t\to e^{-itH_{0}}$ 到 $P_{+}H^{2}_{+}$ 上著名的 Toeplitz 型衰退半群（对 $t\geq 0$）的截断。即，衰退半群的特征向量 $\lambda\to k(\lambda-\zeta)^{-1}$（$k$ 为多重性空间 K 的元素）当且仅当 $\zeta$ 为共振且 k 来自由对应 Dirac 型反线性形式唯一确定的 K 的子空间时，可扩张为 $H_{0}$ 从而 H 的特征反线性形式。此外，在下半平面亚纯的散射矩阵在那里仅有单极点，且其 Laurent 展开的主部是 Gamov 向量的线性组合。