严格凸障碍下耗散声学算子的本征值与共振

我们考察严格凸有界域 $K$ 外部带有耗散边界条件 $\partial_{\nu} u - \gamma(x) \partial_t u = 0$（在边界 $\Gamma$ 上，且对任意 $x \in \Gamma$ 有 $0 < \gamma(x) <1$）的波动方程。解由压缩半群 $V(t) = e^{tG}, \: t \geq 0$ 描述。亚纯入射预解式 $(G - \lambda)^{-1}: \:{ \mathcal H}_{comp} \rightarrow {\mathcal D}_{loc}$ 的极点 $\lambda$，若 ${\rm Re}\: \lambda < 0$ 则为 $G$ 的本征值，若 ${\rm Re}\: \lambda > 0$ 则为入射共振。我们得到了在 $\Lambda = \{\lambda \in \mathbb C:\: |{\rm Re}\: \lambda| \leq C_2(1 + |{\rm Im}\: \lambda|)^{-2},\: |{\rm Im}\: \lambda| \geq A_2 > 1\}$ 中 $G$ 的本征值与入射共振位置的更精细结果，并证明了它们渐近的 Weyl 公式。对于 $K = \{x \in {\mathbb R}^3:\:|x| \leq 1\}$ 且 $\gamma$ 为常数的情形，我们证明 $G$ 无本征值，故 Weyl 公式仅涉及入射共振。