耗散边界条件下波动方程的特征值位置

我们考察与无界域 $\Omega \subset {\mathbb R}^d$ 中波动方程相关的半群 $V(t) = e^{tG},\: t \geq 0,$ 的生成元 $G$ 的特征值位置，该方程具有耗散边界条件 $\partial_{\nu}u - \gamma(x) \partial_t u = 0$ 于 $\Gamma = \partial \Omega$。我们研究两种情况：$(A): \: 0 < \gamma(x) < 1,\: \forall x \in \Gamma$ 与 $(B):\: 1 < \gamma(x), \: \forall x \in \Gamma$。我们证明了对任意 $0 < \epsilon \ll 1$，情况 $(A)$ 中 $G$ 的特征值位于区域 $\Lambda_{\epsilon} = \{z \in {\mathbb C}:\: |\Re z | \leq C_{\epsilon} (|\Im z|^{\frac{1}{2} + \epsilon} + 1), \: \Re z < 0\},$ 而在情况 $(B)$ 中对任意 $0 < \epsilon \ll 1$ 与任意 $N \in {\mathbb N}$ 特征值位于 $\Lambda_{\epsilon} \cup {\mathcal R}_N,$ 其中 ${\mathcal R}_N = \{z \in {\mathbb C}:\: |\Im z| \leq C_N (|\Re z| + 1)^{-N},\: \Re z < 0\}$。