具有集值边界阻尼的一维波动方程：适定性、渐近稳定性与衰减率

本文研究区间 $[0,1]$ 上的二维波动方程 $z_{tt}-z_{xx}=0$，其在 $x=0$ 处满足 Dirichlet 条件，在 $x=1$ 处受阻尼作用，其形式为对所有 $t\geq 0$ 有 $(z_t(t,1),-z_x(t,1))\in\Sigma$，其中 $\Sigma$ 是 $\mathbb R^2$ 的给定子集。研究在 $L^p$ 函数框架下进行，$p\in [1, +\infty]$。我们旨在确定 $\Sigma$ 上保证该波动方程解的存在唯一性以及解强稳定性与一致全局渐近稳定性的条件。在后者情形下，我们还研究了解的衰减率及其最优性。我们首先在该波动方程的解与一个离散时间动力系统的迭代序列之间建立一一对应，并借助该对应研究上述问题。这使我们能够提供关于 $\Sigma$ 的一个简单充要条件，以保证波动方程解的存在唯一性，并在 $\Sigma$ 满足广义扇形条件时给出确定最优衰减率的有效策略。作为应用，我们解决了文献中陈述的两个猜想，第一个寻求特定的最优衰减率，第二个与饱和型阻尼相关。在边界阻尼受扰动的情形下，我们导出了关于渐近扰动抑制与输入到状态问题的精确结果。