1D 有限阻尼波动方程的 $L^p$ 渐近稳定性

本文研究具有局部非线性阻尼和 Dirichlet 边界条件的二维波动方程，在 $L^p$ 框架下进行，其中 $p\in [1,\infty)$。我们首先解决良定性问题。在阻尼函数的适当假设下，我们证明了 $p\in [1,\infty)$ 时弱解和强解的存在性与唯一性。随后我们研究 $p \in (1,\infty)$ 时能量的渐近行为，给出的衰减估计相对于具有边界阻尼的类似问题几乎最优。我们的研究动机来自前期工作，尤其是 \cite{Haraux2009, Chitour-Marx-Prieur-2020}。我们的证明结合了 \cite{KMJC2022} 中关于 $L^p$ 框架下具有线性阻尼的波动方程的论证方法，运用加权能量估计技术(\cite{PM-COCV})和当 $p>2$ 时的新积分不等式，以及当 $p\in (1,2)$ 时的凸分析工具。