哈密顿非线性波动方程中的共振、辐射阻尼与不稳定性

我们考虑一类非线性 Klein-Gordon 方程，它们是哈密顿的，且是线性色散方程的微扰。未扰动动力系统具有一个束缚态——一个空间局域且时间周期的解。我们证明，对于典型的非线性哈密顿微扰，所有小振幅解随时间趋于无穷以异常缓慢的速率衰减至零。特别地，线性问题的空间局域且时间周期的解通过能量向无穷远的缓慢辐射被典型的非线性哈密顿微扰所破坏。因此这些解可被视为亚稳态。主要机制是束缚态（本征函数）与辐射（连续谱模）之间的非线性共振相互作用，导致能量从离散模向连续模转移。这与 KAM 理论中适当的非共振条件保证不变环面持续存在形成对比。确保此类共振发生的假设是量子力学中共振理论中出现的 Fermi 黄金规则的非线性类比。所使用的技术包括：(i) 作者为处理量子共振问题和嵌入本征值微扰而发展的时间依赖方法，(ii) 适用于无限维色散系统的哈密顿标准形的推广，以及 (iii) 散射理论中的思想。论证相当一般，我们期望它们适用于可视为有限维与无限维色散动力系统相互作用的一类系统，或视为粒子与场耦合的系统。