三维二次 Klein-Gordon 方程的内部模式与辐射阻尼

我们考虑具有外势 $V$ 和二次非线性的 $3+1$ 维 Klein-Gordon 方程。假设 $V$ 正则且衰减，且（有质量的）Schr"odinger 算子 $H=-\Delta+V+m^2$ 具有正特征值 $\lambda^2<m^2$ 及相应本征函数 $\phi$。这就是所谓的内部模式，并给出线性流中时间周期且空间局域的解。我们处理此类解在完整非线性流下是否持续的经典问题，并描述零附近合适邻域内所有解的行为。在自然的 Fermi-Golden 规则成立前提下，我们的主要结果表明，非线性 Klein-Gordon 方程的解可分解为离散分量 $a(t)\phi$（其中 $a(t)$ 随时间衰减）和具有某些弱色散性质的连续分量 $v$。我们获得这些分量的精确渐近信息，如衰减的尖锐速率 $\vert a(t) \vert \approx t^{-1/2}$ 和 ${\| v(t) \|}_{L^\infty_x} \approx t^{-1}$（其中隐常数与数据的小尺度无关），以及 $v$ 的轮廓的自然加权范数增长。特别地，我们的结果推广了 Soffer-Weinstein 关于三次 Klein-Gordon 的开创性工作，并表明辐射阻尼在二次情形中亦会发生。