非正能量Klein-Gordon方程的散射理论

我们研究带电Klein-Gordon方程的散射理论：$$\{{array}{l} (\p_{t}- \i v(x))^{2}\phi(t,x) \epsilon^{2}(x, D_{x})\phi(t,x)=0,[2mm] \phi(0, x)= f_{0}, [2mm] \i^{-1} \p_{t}\phi(0, x)= f_{1}, {array}.$$ 其中：$$\epsilon^{2}(x, D_{x})= \sum_{1\leq j, k\leq n}(\p_{x_{j}} \i b_{j}(x))A^{jk}(x)(\p_{x_{k}} \i b_{k}(x))+ m^{2}(x),$$ 描述了一个最小耦合到由电势$v(x)$和磁势$\vec{b}(x)$描述的外部电磁场的Klein-Gordon场。Klein-Gordon方程的流保持能量：$$h[f, f]:= \int_{\rr^{n}}\bar{f}_{1}(x) f_{1}(x)+ \bar{f}_{0}(x)\epsilon^{2}(x, D_{x})f_{0}(x) - \bar{f}_{0}(x) v^{2}(x) f_{0}(x) \d x.$$ 我们考虑能量非正的情形。在这种情况下，流不能写成希尔伯特空间上的酉群，并且Klein-Gordon方程可能具有复本征频率。利用Krein空间上可定化算子的理论和依赖于时间的方法，我们证明了波算子的存在性和完备性，包括短程和长程情形。波算子的值域用生成元的谱理论来刻画，与通常的希尔伯特空间情形类似。