哈密顿非线性 Klein-Gordon 方程中的能量转移与辐射：一般情形

本文考虑三维空间中具有三次非线性的 Klein-Gordon 方程，其为带势线性方程的哈密顿扰动。假设相应的 Klein-Gordon 算子 $B = \sqrt{-\Delta + V(x) + m^2}$ 在 $(0, m)$ 内具有任意数目可能简并的本征值，从而未扰动线性方程具有多个已知为束缚态的时间周期解。在 \cite{SW1999} 中，Soffer 与 Weinstein 针对一个简单但相对较大的本征值 $\Omega\in (\frac{m}{3}, m)$ 的情形，发现了该非线性系统的一种称为费米黄金定则的机制，借此能量从离散模态转移到连续模态且解仍随时间衰减。特别地，给出了精确的能量转移率。在 \cite{LLY22} 中，我们解决了一般单简单本征值情形。本文在完全一般性下解决该问题： $(0, m)$ 内多个及简单或简并本征值。证明基于各本征空间中一种伪一维抵消结构、重正化阻尼机制以及增强阻尼效应。其也依赖于精细的 Birkhoff 正规形变换以及相对于 Bambusi--Cuccagna \cite{BC} 的准确广义费米黄金定则。