抛物势垒的复特征值与 Gel'fand 三重态

本文处理一维抛物势垒 $V(x)={V_0-m\gamma^2 x^2/2}$，作为量子力学中不稳定系统的模型。该模型的定态 Schrödinger 方程被建立为 Gel'fand 三重态中的特征值问题，其精确解由属于复能量特征值 ${V_0\mp i\Gammav_n}$ 的广义特征函数表示，其中虚部被量子化为 ${\Gammav_n=(n+1/2)\hslash\gamma}$。在假设不稳定系统的时间因子是平方可积的前提下，我们给出了它们的概率解释。这一假设导致了时间演化域的分离，即属于复能量特征值 ${V_0-i\Gammav_n}$ 的所有时间因子存在于未来部分，而属于复能量特征值 ${V_0+i\Gammav_n}$ 的所有时间因子存在于过去部分。在该模型中，从这些时间因子得出的物理能量分布被发现是 Breit-Wigner 共振公式。这些物理能量分布的半宽由复能量特征值的虚部决定，因此它们也是量子化的。