两个相邻区间上有限 Hilbert 变换的对角化

我们研究层析成像的内部问题。出发点是 Gelfand-Graev 公式，该公式将层析成像数据转换为未知函数 $f$ 沿一组直线的有限 Hilbert 变换 (FHT)。选取其中一条直线，称之为 $x$ 轴，并假设待重建函数通过将 $f$ 限制在该直线上而依赖于一维自变量。设 $\Omega_1$ 为 $f$ 的支撑区间，$\Omega_2$ 为可使用 Gelfand-Graev 公式计算 $f$ 的 Hilbert 变换的区间。我们研究的方程为 $H_1 f=g|_{\Omega_2}$，其中 $H_1$ 是在 $\Omega_1$ 上积分并在 $\Omega_2$ 上给出结果的 FHT，即 $H_1: L^2(\Omega_1)\to L^2(\Omega_2)$。在内部问题的情况下，层析成像数据是截断的，且 $\Omega_1$ 不再是 $\Omega_2$ 的子集。在本文中，我们考虑区间 $\Omega_1=(a_1,0)$ 和 $\Omega_2=(0,a_2)$ 相邻的情况。这里 $a_1 < 0 < a_2$。首先，我们找到一个与 $H_1$ 交换的微分算子 $L$。利用 Titchmarsh-Weyl 理论，我们证明 $L$ 只有连续谱，并得到两个等距变换 $U_1$、$U_2$，使得 $U_2 H_1 U_1^*$ 是函数 $\sigma(\lambda)$ 的乘法算子，其中 $\lambda\geq(a_1^2+a_2^2)/8$。这里 $\lambda$ 是谱参数。然后我们证明当 $\lambda\to\infty$ 时 $\sigma(\lambda)\to0$ 呈指数衰减。我们还得到了积分算子 $U_1$、$U_2$ 中涉及的核在 $\lambda\to\infty$ 时的主导渐近行为。当区间对称时，即 $-a_1=a_2$，算子 $U_1$、$U_2$ 可以用超几何函数显式表示。