定义在多个区间上的有限希尔伯特变换的奇异值分解与断层成像内部问题：黎曼 - 希尔伯特问题方法

我们研究了定义在多个区间上的有限希尔伯特变换 (FHT) 的奇异值和奇异函数的渐近行为。此类变换出现在断层成像内部问题的研究中。我们提出了一种基于矩阵黎曼 - 希尔伯特问题技术和 Deift-Zhou 最速下降法的新方法。我们获得了一族依赖于谱参数 $\lambda$ 的矩阵 RHP，并表明 FHT 的奇异值与 RHP 不可解时的 $\lambda$ 值一致。通过将 $\lambda\to 0$ 时 RHP 的主导阶解用黎曼 Theta 函数表示，我们证明了奇异值的渐近行为可通过研究某个 Theta 函数零点轨迹与一条直线的交点来获得。这条直线可以显式计算，且取决于定义 FHT 的区间的几何形状。奇异函数和奇异值的主导阶渐近分别用黎曼 Theta 函数和相应归一化微分的周期矩阵显式表示。我们还获得了渐近结果的误差估计。