投影到幂等矩阵的 Frobenius 距离

对于每对同阶矩阵 $A$ 和 $B$，令 $\|A-B\|_F$ 表示它们的 Frobenius 距离。本文主要研究投影到幂等矩阵的 Frobenius 距离。对于每个幂等矩阵 $Q\in \mathbb{C}^{n\times n}$，可以诱导出一个称为匹配投影的投影 $m(Q)$。证明了 $m(Q)$ 是唯一的投影，其到 $Q$ 的 Frobenius 距离在所有投影到 $Q$ 的 Frobenius 距离中取得最小值，而 $I_n-m(Q)$ 是唯一的投影，其到 $Q$ 的 Frobenius 距离取得最大值。此外，证明了对于最小值和最大值之间的任意数 $\alpha$，存在一个投影 $P$，其到 $Q$ 的 Frobenius 距离取值为 $\alpha$。基于上述对最小距离的刻画，在投影 $P$ 和幂等矩阵 $Q$ 满足 $PQ=Q$ 的条件下，推导了 $\|P-Q\|_F$ 的一些 Frobenius 范数上界和下界。