计算矩阵最佳低秩逼近的全局收敛流

我们在具有 Frobenius 内积的 $m\times n$ 实矩阵空间中工作。考虑如下的问题：给定 $m\times n$ 实矩阵 A 与正整数 k，求秩为 k 且最接近 A 的 $m\times n$ 矩阵。我讨论了一个保秩微分方程（d.e.）来求解该问题。若 X(t) 是该微分方程的解，则 $X(t)$ 与 $A$ 之间的距离随 t 增大而减小；该距离函数是微分方程的 Lyapunov 函数。若 $A$ 具有相异的正奇异值（此为 Generic 条件），则该微分方程仅有一个稳定平衡点。其余平衡点为有限个且不稳定。换言之，秩为 $k$ 的矩阵流形上稳定平衡点的吸引域由几乎所有矩阵构成。这一特殊平衡点即所给问题的解。通常约束优化问题具有许多局部极小（其中大多不令人满意）。因此此处考虑的约束优化问题非常特殊。