到缺陷矩阵集合的距离估计

我们处理如下问题：从给定矩阵 $A \in \mathbb R^{n\times n}$（具有互异特征值）到具有多重特征值矩阵流形的 Frobenius 距离估计。在将考虑限制于秩 $1$ 实扰动矩阵时，我们证明该距离等于 $\sqrt{z_{\ast}}$，其中 $z_{\ast}$ 是代数方程 $$\mathcal F(z) = 0, \ \mbox{where} \ \mathcal F(z):= \mathcal D_{\lambda} \left( \det \left[ (\lambda I - A)(\lambda I - A^{\top})-z I_n \right] \right)/z^n$$ 的正（通常最小的正数）零点，且 $\mathcal D_{\lambda}$ 表示关于 $\lambda$ 的多项式的判别式。在此方法框架下，我们还提供了寻找最接近 $A$ 的具有多重特征值矩阵的过程。并讨论了该问题到复扰动情形的推广。给出了若干例子以阐明该方法的计算方面。