实结构（及非结构）缺陷度量的微分方程

设 $A$ 为具有互异特征值的复矩阵或实矩阵。我们提出了一种新方法，用于计算矩阵 $A$ 到缺陷矩阵集合（即至少拥有一个代数重数大于几何重数的多重特征值的矩阵集合）的非结构距离和实结构距离 $w_{\mathbb K}(A)$（其中若考虑一般复矩阵则 ${\mathbb K}=\mathbb C$，若仅允许实矩阵则 ${\mathbb K} ={\mathbb R}$）。对于 $0 < \varepsilon \le w_{\mathbb K}(A)$，该问题与计算 $A$ 的最病态 $\varepsilon$-伪特征值（即以最高条件数为特征的 $A$ 的 $\varepsilon$-伪谱中的点）密切相关。我们提出的方法将一个低秩（可能是结构的）流形上的微分方程组与一个快速 Newton 类迭代相结合；前者计算最接近合并的 $A$ 的 $\varepsilon$-伪特征值，后者旨在确定使该 $\varepsilon$-伪特征值变为缺陷的最小值 $\varepsilon$。该方法具有局部性；这意味着通常我们找到的是 $w_{\mathbb K}(A)$ 的上界。然而，在我们可以验证的（简单）情况下，它们通常能提供良好的近似。该方法可扩展至结构矩阵，其中要求在定义矩阵结构的某个流形内计算距离。在本文中，我们广泛考察了实矩阵的情形，但也考虑了模式结构。据我们所知，文献中尚不存在能够计算此类距离的方法。